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标有〃超凯利系统〃的曲线描述的是每次下注的金额相当于凯利系统下注金额的两倍的投注策略。本次实验中采取超凯利系统下注的赌徒最后的财富总额是35。88美元。这种〃双倍凯利〃系统非常不稳定，如果运气好的话收益可能非常丰厚，但一旦出现变故，就有可能损失巨大。请注意，在上面图中的开始阶段，三条曲线中表现最好的是超凯利系统，但是好景不长（图左靠下出现了一个火山形状的起伏）。之后，超凯利系统的财富曲线几乎下降到零，而且很长时间都维持在非常低的水平。如果我们把实验无限延长，就会看到采用双倍凯利系统的财富曲线会一再跌到1美元的初始资本甚至更低。
有时结果会更严重。虽然超凯利系统采取的也是按比例下注的策略，但仍然有可能导致破产。如果按照四倍凯利系统下注（每次下注金额相当于总资本的 40％），相应的收益曲线几乎与上图中横向的坐标轴平行，在上图中可能根本无法看到。这样，按照四倍凯利系统下注500轮将会使1美元的初始资金降低到 0。00000038美元。如果继续下注，那么总资本将无限减少，但从理论上讲，在货币单位可以无限减小且没有最低下注金额要求的条件下按照四倍凯利系统下注不会导致血本无归，虽然剩下的本金金额会少得无法计算。
凯利系统所依据的基础是所谓的〃大数法则〃。早在1713年，瑞士的数学家雅各布 伯努利就在一篇论文中提出了这个法则，但一直都被赌徒和投资者误解。雅各布伯努利提出的法则是针对期望值这个非常棘手的概念的。在美国赌场的轮盘赌中，如果轮盘保持百分之百水平放置，把赌注押在红色上面就有18∶38的胜算。是不是这就可以保证每转38次轮盘就能有18次指针指在红色上面呢？答案当然是否定的。（赌场里的事情谁能〃保证〃呢？）是不是如果过去一段时间指针总是指在黑色上面，所以接下来就会〃轮到〃红色呢？答案仍然是否定的。（虽然很多赌徒相信这种风水轮流转的说法。）
那么期望值和这又有什么关系呢？如果要把这条数学定理翻译成浅显易懂的语言，很多人都会使用〃从长期看〃这个词。人们经常会说这样的话，〃从长期看，指针指向红色的概率是18∶36。〃
但〃从长期看〃这句话不过是个口头语罢了，没有什么实际意义。不论你把轮盘转多少次，也无法保证指针指向红色区域与总数的比值与期望值相等。
如果把转盘一连转上380亿次，会不会有180亿次指针指在红色上面呢？答案仍然是否定的。那么，会不会指向红色的次数接近于180亿次呢？这就要看你说的〃接近〃是怎样定义的了。如果你说的〃接近〃上下只差十次，答案几乎肯定是否定的。事实上，实际值和期望值会随着转轮盘次数的增加而提高。
根据雅各布 伯努利的大数法则，我们（只能）知道，随着转动轮盘次数的增加，指针指向红色的次数会不断倾向于接近期望的概率。在轮盘转动数亿次之后，指针指向红色的概率会非常接近18∶38，也就是47。37％。
过去几个世纪以来，无数的赌徒通过实践都得出了下面的结论：大数法则对于赌场中的实际操作没有他们期望的现实意义。也就是说人们对大数法则的期望值是个负数，所以谁也别指望利用大数法则赚钱发财。
你也许会想，如果能找到一个期望值为正数的下注机会，也许可以通过长期应用大数法则来获得收益。但这也不一定。正如我们上面看到的，现实生活中存在着在短期内就破产出局的风险。即使采用按比例下注的方法，仍然有可能破产出局。第45节：第二章（11）
在信息论中，申农多次引用了大数法则。如果通信渠道中充满了噪音干扰，每个比特的值都无法确定，那么就只能利用百分比这个概念了。
凯利是通过模拟手段从期望值为正数的下注或者说投资机会中赚钱的。凯利系统管理资金的原理就是保证赌徒在赌局中坚持足够长的时间，直到大数法则开始起作用，从而带来赢利。
拉斯维加斯
在雷诺进行试验期间，索普特意实地观察了轮盘赌的情况。他发现赌场中用的轮盘和申农地下室里的那个轮盘区别不大，而且大多数都是倾斜放置。
1961年春夏之交，申农和索普终于完成了轮盘赌计算机的设计制作。申农和索普先在家进行了一次虚拟测试，只用了几个小时，两人几百美元的初始投资就增加到24000美元。
接着两人又在申农的工作室进行了一次正式试验，为了隐藏通信装置，他们选用只有发丝粗细的电线连接耳机和藏在口袋中的接收装置，把电线用演员化妆用的阿拉伯胶粘在身上，再在上面涂上和皮肤一样的颜色。
这年6月，索普夫妇两人先行来到拉斯维加斯，不久之后申农夫妇也赶到了。索普回忆道：〃当时除我以外大家都很紧张。〃在1961年，利用工具计算预测轮盘赌的结果完全可以构成违法行为。但四人相信赌场绝不会发现他们的试验。和二十一点的数牌策略不同，轮盘赌的计算预测需要使用专业工具，一旦被发现，就无可抵赖。
于是，四个人决定住在普通的汽车旅馆，以免住在大酒店会招人注意。索普回忆当时的情况时这样说：〃我们担心的是赌场可能会在我们的房间安装窃听装置或者派人检查我们的行李，如果你住在赌场开的酒店里，一定更容易受到监视。〃四个人进行了分工，首先要到赌场中去〃踩点儿〃，观察各家赌场安放轮盘的倾斜角度。一旦发现摆放角度对自己有利的轮盘，就由申农负责上前假装准备下注，站在轮盘前面把每次的号码记在纸上。实际上，手中的纸笔只是掩人耳目，申农暗中用脚趾操纵计算机已经记录下了小球和转子的速度，然后计算机再利用音符密码把信息传到真正的下注人（索普或者是申农的妻子贝蒂）的耳朵里。同时，负责下注的人要假装不认识申农。大多时候都选择由贝蒂下注，因为她看上去显得很单纯，而且留的是长发，很容易就可以把电线遮住。索普的妻子维维安负责望风。由于开始有些紧张，所以他们每次只押一个一角钱的筹码，这样，如果数码押中，就能赢3。6美元。
但是，由于电线太细，总是折断，每次断线都要回到旅馆房间去维修。他们事先考虑到了这个问题，所以随身带了电烙铁。由于电线问题，几个人一直没能放开手脚大干一场。在拉斯维加斯期间，索普向申农演示了自己的二十一点数牌策略。虽然索普的表现完美无缺，但斩获不多，似乎他的数牌策略已经失效，也许是因为幸运女神抛弃了他。
在离开拉斯维加斯的时候，一行人又制订了几个新计划：回去之后把轮盘赌计算机的电线换成粗一点儿的（索普或者申农可以把头发留起来）；再设计一台计算机来为二十一点数牌（他们怀疑索普数错了牌，但索普坚信自己没出错，认为没必要专为二十一点设计计算机）；还要设计一台计算机来预测幸运轮盘。索普和申农在赌场中发现预测幸运轮盘比预测轮盘赌要容易很多。因为幸运轮盘没有小球，所以只需要计算轮盘的转动速度就可以了，而且不用考虑扇叶之类装置导致的偶然因素。回忆到当时的情景，索普说：〃当时我就意识到我们大家恐怕再也不会一起来拉斯维加斯了。
百战百胜的策略
在这次拉斯维加斯之行后，申农和索普的合作就结束了。就在他们回来的当月，索普收到了新墨西哥州州立大学的邀请，希望他前去任教。由于当时麻省理工学院有可能不和索普续约，而且新墨西哥州州立大学开出的条件十分优厚，工资比索普在麻省理工学院的收入高出50％，同时在新墨西哥州生活成本也更低，此外，索普夫妇由于刚生了孩子，也需要增加收入，所以就接受了邀请，两人一起搬到了新墨西哥州，在拉斯库希斯的一所房子安了家。
第46节：第二章（12）
长期没有论文面世对一个数学家来说就意味着学术生涯的结束。索普的研究领域是函数分析，他曾经发表过多篇学术论著，包括《紧线性算子与其关联共轭值的关系》。但是，真正给索普带来广泛声誉的著作却是他本来无心出版的。
1961年春天，麻省理工学院来了一个图书推销员。在谈话过程中，索普说起自己关于二十一点的策略系统，觉得这可以写成一本书。于是那个图书推销员就提议让索普写一个大纲。大纲写成之后，纽约有家名叫布雷斯代的小出版公司看中了这本书并在1962年把这本书推上市场，书名叫《战胜赌场》。一经面世，《战胜赌场》马上成为了关于赌博的经典读物。
不久兰登书屋吞并了布雷斯代公司。虽然《战胜赌场》这本书的名字起得很有吸引力，但兰登书屋的决策层认为这本书的内容偏重数学研究，所以不愿意大力推广宣传。尽管缺少市场推广，《战胜赌场》一书仍然荣登当时的畅销书榜单。
在对《战胜赌场》进行推广宣传的过程中，索普也获得了一些名气。有一次，他和我们前面提到的开赌场的哈罗德 史密斯一起参加一个电视脱口秀节目。据说，听到这个消息时，哈罗德 史密斯当时说道：〃策略致胜！咱们应该叫辆出租车去机场接他们。〃
当时，史密斯以为索普的数牌系统和（包括双倍下注策略在内的）过去那些毫无实用价值的策略一样乏善可陈，他完全不相信这种事情。早在索普在哈罗德俱乐部小试身手之前，史密斯家族就开始抵制使用数牌策略的顾客了。和其他经营赌场的家族一样，史密斯家族也很担心数牌策略会影响自己的利润。当时的很多赌场都开始采取各种措施，尽量使数牌策略无法得逞。
哈罗德史密斯曾经有一段时间到处浪荡逍遥，几乎在内华达州所有的主要赌场都欠下过赌债，同时也结识了很多人。内华达州的所有重要人物史密斯几乎全都认识。在索普与哈罗德 史密斯会面仅仅几个小时之后，就传出风声，说有个留平头带宽边眼镜的人和艾迪 汉德已经决定合作，共同试验一套数牌策略系统。
在1962年冬天的一次赌场之行中，索普带上了一个精通扑克牌作弊的专家迈克尔麦克道格尔。麦克道格尔曾经在内华达州赌博控制委员会工作，从他身上索普学到了很多赌博作弊的手法，远远比从伊曼纽尔基莫尔身上学到的要多。索普和麦克道格尔一起在拉斯维加斯呆了6天，之后又在雷诺逗留了两天。通过这次赌城之行，麦克道格尔相信了索普的说法。的确，所有认识索普的人都在想法抵制他，很多发牌员在和索普玩牌时都使用基莫尔在雷诺赌场识破过的那种骗术。
1966年，经过一些修订，《战胜赌场》再次出版，在书中爱德华索普描述了比原来的数牌策略更先进的〃算点数〃策略。直到今天，这种算点数的策略仍被普遍使用，通常称为〃高低数牌法〃。根据这种新策略，赌徒每看到发出一张低牌（包括2、3、4、5、6）就计正一，每看到发出一张高牌（包括点数为10的牌和A）就计负一。实战过程中，这种新策略比上面解释的还要容易，如果在计下一张低牌后又计下一张高牌，二者就可以抵销。对于估算剩余纸牌的点数，这种新策略比常用的算十策略更加有效。
索普在书中还提到了一项通过计算机运算得出的惊人结论：根据鲍德温等人的计算，二十一点的赌场佣金为0。62％，对赌场方面有利；但事实上，赌场佣金为百分之0。10％，对赌徒有利。而且，这个数字还是在没有使用数牌策略的情况下计算的。
此外，鲍德温等人提供的基本策略也不完全正确。在经过几番改进提高之后，索普的策略可以在赌徒不数牌的情况下把佣金提高到0。13。直到这时，大家才知道，赌场多年以来一直经营的这个赌博项目竟然对顾客有利。
在《战胜赌场》这本书中，索普隐去了当事人的名字，把为自己提供资助的两个人分别称为〃甲先生〃和〃乙先生〃（书中只是简短提到了申农，称之为〃某著名科学家〃）。在《战胜赌场》获得成功后，伊曼纽尔 基莫尔开始告诉朋友们自己就是试验数牌策略的真正策划人。有一次，一个叫杰克牛顿的赌徒说基莫尔吹牛，问他为什么自己不写这本书，却把出名的机会让给了索普，基莫尔的回答是：〃杰克，当时我以为这本书值不了几个钱�