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之甚少。据考证,他是山东邹平人。刘徽定义了若干数学概念,全面论证了《九章算术》
的公式解法,提出了许多重要的思想、方法和命题,他在数学理论方面成绩斐然。
刘徽对数学概念的定义抽象而严谨。他揭示了概念的本质,基本符合现代逻辑学和
数学对概念定义的要求。而且他使用概念时亦保持了其同一性。如他提出“凡数相与者
谓之率”,把“率”定义为数量的相互关系。又如他把正负数定义为“今两算得失相反,
要令正负以名之”,摆脱了正为余,负为欠的原始观念,从本质上揭示了正负数得失相
反的相对关系。
《九章算术》的算法尽管抽象,但相互关系不明显,显得零乱。刘徽大大发展深化
了中算中久已使用的率概念和齐同原理,把它们看作运算的纲纪。许多问题,只要找出
其中的各种率关系,通过“乘以散之,约以聚之,齐同以通之”,都可以归结为今有术
求解。
一平面(或立体)图形经过平移或旋转,其面积(或体积)不变。把一个平面(或
立体)图形分解成若干部分,各部分面积(或体积)之和与原图形面积(或体积)相等。
基于这两条不言自明的前提的出入相补原理,是我国古代数学进行几何推演和证明时最
常用的原理。刘徽发展了出入相补原理,成功地证明了许多面积、体积以及可以化为面
积、体积问题的勾股、开方的公式和算法的正确性。
在数学证明中成功地运用无穷小分割和极限思想,是刘徽最杰出的贡献。
《九章算术》提出圆面积公式S=l/2·r(S为圆面积,l为圆周长,r为半径)。为
证明这个公式,刘徽从圆内接正六边形S6(称为六觚)开始割圆,依次得圆内接正十二
边形S12,圆内接正二十四边形S24,……S6·2的n次方……所有S6·2的n次方<S,但
“割之弥细,所失弥少。割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣。”这相
当于:
然后他证明
而
。于是刘徽就把圆化为与之合体的内接正多边形来求面积,再把这个正多边形分割
成以每边为底以圆心为顶点的无穷多个小三角形之和,所谓“觚而裁之,每辄自倍。
故以半周乘半径而为圆幂”。从明证明了S=l/2·r。刘批评了以往“圆径一而周
三”的错误,指出此公式中周径是“至然之数”,即圆周率π。他以此公式为基础,求
出了π的两个近似值157/20和3927/1250,在中国首次创立了求圆周率的科学方法,奠
定了我国圆周率研究在世界长期领先的基础。
刘徽注关于体积问题的论述已经接触到现代体积理论的核心问题,指出四面体体积
的解决是多面体体积理论的关键,而用有限分割和棋验法无法解决其体积。为了解决这
个问题,他提出了一个重要原理“邪解壍堵,其一为阳马,一为鳖臑。
阳马居二,鳖臑居一,不易之率也”,今称为刘徽原理。刘徽平分壍堵的长、宽、
高,通过出入相补,可以证明在壍堵的3/4中上述原理成立;而剩余的1/4与原壍堵的结
构相同,可以重复上述分割,又可以证明其3/4中这个原理成立。这个过程可以无限继
续下去,“半之弥少,其余弥细。至细曰微,微则无形。由是言之,安取余哉?”完成
了该原理的证明。由壍堵的体积公式v=1/2abh,便证明《九章算术》提出的阳马体积
公式v=1/3abh,鳖臑的体积公式v=1/6abh。近代数学大师高斯、希尔伯特才讨论这个
问题,已是近100多年以来的事。
刘徽注多方面表述了今天称之为祖暅之原理的命题,并由此证明了《九章算术》中
球体积公式的错误。他设计了牟合方盖,指出球与牟合方盖的体积之比是π∶4,只要
求出后者的体积就可以求出球体积了。他尽管没能求出牟合方盖的体积,但诚恳地表示
“以俟能言者”,表现出一位伟大学者的坦荡胸怀。这个问题后来由祖冲之父子彻底解
决,李淳风注释《九章算术》时详细记述了祖氏的方法。
刘徽注中还有不少有价值的成就。如对开方不尽,提出继续开方,求其“微数”,
以十进分数逼近无理根,开十进小数之先河;他还认识到不定方程有无穷多组解,等等。
刘徽注形成了一套数学体系,他说“事类相推,各有攸归,故枝条虽分而同本干知,发
其一端而已。”把数学看作一株枝条虽然分开但本干相同的大树。他认为数学是“规矩”
与“度量”亦即空间形式与数量关系的统一。基于这些深刻的认识,他的证明除个别失
误外,都论点明确,论据充分,条理清晰,推理严谨;而且大都使用演绎推理,没有循
环论证。是严格的数学证明。有了刘徽的证明。《九章算术》的公式解法,才建立在真
实可靠的基础上。
《九章算术》及其刘徽注,以杰出的数学成就,独特的数学体系。不仅对东方数学,
而且对整个世界数学的发展产生了深远的影响,在科学史上占有极为重要的地位。它的
出现,标志着从公元前1世纪开始,中国取代古希腊成为世界数学的中心,为此后中国
数学领先世界1500多年奠定了基础。今天,随着计算机的出现和发展,它所蕴含的算法
和程序化思想,仍给数学家以启迪。吴文俊先生指出“《九章》所蕴含的思想影响,必
将日益显著,在下一世纪中凌驾于《原本》思想体系之上,不仅不无可能,甚至说是殆
成定局,本人认为也绝非过甚妄测之辞。”
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北极星书库|| ebook007影响中国的100本书
70 《齐民要术》
“惠民之政,训农裕国之术”
《齐民要术》是东魏(531—550)农学家贾思勰(青州齐郡益都,今山东寿平县人,
生平不详)约在6世纪30年代至40年代间写成的一部农学名著。记述了黄河流域下游地
区,即今山西东南部、河北中南部、河南东北部和山东中北部的农业生产,包括了农、
林、牧、渔、副等部门的生产技术知识,堪称为我国古代的一部农业百科全书。
《齐民要术》共10卷92篇,约11余万字,卷端另有“序”和“杂说”。“杂说”系
后人掺入之作。“序”是全书的总纲,包括著者的指导思想、内容范围、资料来源和写
作目的。
著者在“序”中援引大量经典和历史故事,反复阐发“食为政首”的重农思想,强
调“治国之本,在于安民;安民之本,在于足用。”把农业生产提到治国安民(“农为
邦本”)
的高度上来认识。只有农业生产发展了,人民的温饱问题解决了,才能“国富民
安”。
“食为政首”,是贯穿于《齐民要术》的主导思想。它规定了该书的写作范围和内
容,甚至章节安排的次序。正如“序”中所说“起自农耕,终于醯醢,资生之业,靡不
毕书。”
从农作物栽培,直至制醋作酱,凡与民生直接相关的生活资料的生产,没有不详细
记载的。
《齐民要术》的内容极为丰富。卷一,“耕田”、“收种”(以上栽培总论)、
“种谷”各1篇;卷二,谷类、豆、麦、麻、稻、瓜、瓠、芋等粮食作物栽培各论13篇;
卷三,“种葵”(蔬菜栽培总论)、蔓菁等各论12篇;卷四,“园篱”、“栽树”(园
艺总论)各1篇,枣、桃、李等果树栽培12篇;卷五,栽桑养蚕1篇,榆、白杨、竹以及
染料作物10篇、伐木1篇;卷六,畜、禽及养鱼6篇;卷七,货殖、涂瓮各1篇(酿造总
论)、酿酒4篇;卷八、九,酿造酱、醋,乳酪、食品烹调和储存22篇,煮胶、制墨各1
篇;卷十,“五谷果蓏菜茹非中国(北魏疆域以外地区)物产者”1篇,记热带、亚热
带植物100余种,野生可食植物60余种。综括了农艺、园艺、造林、蚕桑、畜牧、兽医、
选种育种、酿造、烹饪、农产品加工储存,以及备荒、救荒,基本上属于广义的农业范
畴,反映了当时农、林、牧、渔、副多种经营方式亦已具备了较为完整的规模。
“序”中说它对“商贾之事,阙而不録”。其实,书中不録的,是那种弃农经商,
(“舍本逐末”),周流天下,买贱鬻贵,积累资本,重利盘剥农民的富商巨贾之事。
然而,它对季节性较强的农村集市商业活动却非常重视,书中“杂说第三十”对谷类、
葵、榆诸篇有多处记述。集市所售之物多为农民生产的剩余物,或利用农闲制作的一些
手工制品(椀、车毂等)。物品售罄,季节一过,售者又都回到农业生产上去,不致因
此而影响农业生产。基本上反映了当时人民所需“莫非种植之物”、“钱货无所交流”
的社会实际。
全书的结构体例也相当严密,每篇由篇题、正文和经传文献组成。根据不同作物,
所述详略不一。篇题下有注文(援引历史文献和亲自调查),相当于“释名”、“集
解”,包括异名、别名、品种、地方名产、引种来源及其性状特征;正文则为实际调查
和亲身体验(“爰及歌谣,询之老成,验之行事”),这是各篇的主体;篇末则援引文
献以补充论证正文,包括重农思想、经营管理、生产技术、农业季节、农业地理、农产
品贮存与加工。据统计,书中援引经传160余种(一说180余种)。可以说是历史经验和
当代生产技术实践相结合的一部农业论著。
《齐民要术》规模之庞大、内容之丰富、结构之严谨,都远远超过以往。《吕氏春
秋·上农》等四篇,虽说不算是农学专著,但内容连贯倒也自成一体,基本上属于栽培
总论性质。
西汉《汜胜之书》(公元前1世纪)史称18篇,存者不过3000余字,总结了关中地
区的耕作技术,也只限于种植业。东汉崔寔(?—170年)《四民月全》虽已涉及农、
林、牧、副,却略于技术而重于农事之安排,不过是一部月全性质的农书。
《齐民要术》则是在前代农学的基础上,全面、系统地总结了魏晋以来400年间黄
河流域旱地农业生产的新经验和新成就。
《齐民要术》的最大功绩是:其一,它全面、完整地总结了以耕—耙—耱为主体,
以防旱保墒为中心的旱地耕作技术体系,以增进地力为中心的轮作倒茬、种植绿肥等耕
作制度,以及良种选育等项措施。更加丰富和发展了我国精耕细作的传统思想;其二,
首次系统地总结了园、林经验,林木的压条、嫁接等繁育技术;畜禽的饲养管理、外形
鉴定和良种选育;农副产品加工和微生物利用以及救荒备荒的措施。填补了传统农学的
空白,为后来农学的发展奠定了良好的基础。毫无疑义,《齐民要术》的出现,是我国
传统农学发展的一个重要标志。
《齐民要术》之所以能作出如此重大的贡献,是与当时历史条件和贾思勰的文化素
养、科学态度分不开的。
黄河流域是我国农业发源地之一,旱地农业生产一直居于领先地位。虽说东汉以后
的200年间农业生产和社会经济因长期战乱而累遭破坏,但农业生产工具的改进和生产
技术的提高却未因此而中辍。以耕作为例,魏晋时期,“铁齿”(人字耙)和“耱”
(无齿耙)的出现,以及由此而形成的耕—耙—耱结合的耕作技术,提高了旱地防旱保
墒的能力,到北魏时,又积累了一整套针对不同季节、不同墒情而进行的耕—耙—耱经
验,从而形成了更为完整的耕作体系,不仅增强了防旱保墒的能力,而且增进了土壤肥
力,提高了产量。
生产技术的提高和生产经验的积累,为贾思勰的写作提供了生动的资料和内容。
贾思勰生活于北魏末期。青少年时期,正值孝文帝提倡经学,实行“文治”,深入
汉化运动的高潮,孝文帝极力倡导农业,朝廷议政都以农事为首,令各州、郡、县官经
常督促农业生产,做到“无失农时”,违者免官,甚至“一门之内,终身不仕”。太和
九年(485年)又实行均田制,把无主荒地分给无地或少地农民耕种,使“土不旷墱*”,
规定种植五谷瓜果蔬菜,植树造林,解决人民吃饭问题。
贾思勰对经学颇有造诣,既受历代重农思想之影响,又得到“太和之风”的熏陶。
因此,他对农业生产非常重视,在他任瀛州(今河北省保定市及其以南)高阳郡(保定
市一带)太守时,勤于职守,督导农桑,对瀛州及其邻近州县的作物进行深入调查。他
特别重视良种的推广,这是种植物增产的关键。他对80余种粟类