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诚然，数学教育很大一部分取决于人们对数学的看法，因而取决于对数学认识论的看法。如果说，一个数学家当然从来不去请教心理学家如何证明一个定理，换言之，即请他参领到自己的科学的技术本身之中，那么数学的“基础”问题则是另外一码事了。而且在这个认识论的领域里——但这个领域现在已成为数学问题本身的一部分——数学家们一直分为三派，而实际上只是两派：把数学建立在逻辑之上的数学家（人们还可以把柏拉图主义者加入在内，因为他们的永恒本质包括作为初级层次的逻辑）和求助于运算活动或主体活动的数学家，如彭加勒、昂利克、布劳温和其他许多数学家（其中包括B．博雷尔的物理主义，因为他把函数看作是从物理存在中抽取得来的东西，只有当人们实际上参照物理学家用以使现象变化直至能赋予现象一个可数学计算的结构的那些动作时，它才有意义）。
然而，从这种认识论的观点上看，数学的当前趋势是朝向显然是建构主义的结构主义的。大家都知道布尔巴基学派的中心思想，它把三个大“母结构”（代数结构、顺序结构和拓扑结构）作为数学大厦的基石。这三个母结构通过分化和组合又繁衍出无数特殊的结构。可是，日内瓦的心理学家们已经能证明，这三种母结构在具体和限定的形式下，与人们在七、八岁儿童身上看到的、从形成第一批逻辑－数学运算时就有的三种初级运算结构相一致。今天，布尔巴基所说的这个“结构”概念有被“范畴”（一组客体及其全部功能）的概念补充甚而取代的趋势。但帕普特最终指出，那是一种以“数学家的”运算来替代“数学的”运算的努力。这里也一样，人们在范畴的概念中看到了相当深的心理的或“自然的”根子。林契罗维斯曾经证明不存在按“存在”这一词通常的甚至形而上学的意义而言的数学“存在”，这些所谓的存在只是按某种建构方式的同构，然后是同构之间的同构，等等。在那种建构方式中，某些心理学家又看到了这种“思维抽象”，它在更高层次上不断地重新建构它从以前各层次的动作或运算中抽取的、构成逻辑－数学结构的一般自然形式方式的东西。
心理学家在研究这一自发的或由教育方法指导的形式时，也不知不觉地或有意识地，接触到这些数学的认识论的基础问题。萨泼斯最近在“行为模式与形式化”专题讨论会上提出的一篇论文，题目就是《数学的心理学基础》。最近出版的《数学学习》分卷，其中有心理学家如柯隆巴赫、凯森、萨泼斯、布鲁纳和数学家斯桐的文章，也不断参照既关系到数学认识论，又关系到发展心理学的自发形成过程。日内瓦的研究工作更是经常同时涉及这两个方面。关于这一点，我们将在D中再谈。
C．至于物理学，它同心理学的关系，除第四节中所指出的、在物理格式塔（顺着物理学→心理学家方向）和信息论（按相反方向或正反两个方向）方面的方法交流外，乍看起来似乎应当说是零。事实上，物理学认识论引起一些心理学问题，这至少有两个原因。第一是它提出了如何去理解看来是基本的永久的直觉，如对绝对时间、远距离同时性、作为微粒的物体的保存等直觉，竟能如此轻易地被相对论和微观物理学改变的问题。如果是先天性直觉或康德所说的先验形式，这些认识工具的变化倒是不可理解的。但如果站在发生心理建构主义的角度，这些变化就不言而喻了。甚至微观物理学中的波与微粒的交叉移位也使人想起四至五个月和十二至十八个月之间的儿童构成恒常物体图式的困难和心理学的明显事实，即物体的恒常性从一开始就同空间定位的可能性（还和“移动群”）非常紧密地联系在一起的。
物理学同心理学有联系的第二个原因是，物理学家曾看到实验者的操作所产生的效果与出于各种现象本身之间的联系的效果这二者有相互依存的关系。这一基本事实自然引起了客观的性质问题，并导致以一种有关运算发展的心理学理论来补充布里格曼的运算主义。这一理论证明，导致客观的非中心化只是相对于观察者的自我而言的非中心化，它是同认知主体的活动所产生的、来自动作的协调（由此产生出“群”等）而不再来自孤立动作可能产生的幻觉的源泉的逻辑…数学结构相关联的。这样就解除了普朗克在答复马赫时常常强调的停论：如果物理认识开始于感觉（同孤立的动作相联系），那么客观性就是背向感觉，而不是把自身关闭在感觉之中。
事实上，物理学与心理学之间的这些公开的或潜在的联系导致了某些合作的微小开端。在这方面可以举两个例子。一个例子是著名的物理学历史学家库恩的论述，他研究了物理理论更迭中的革命和“范例”（或同某些基本直觉，如牛顿的万有引力，相联系的整体概念）的变化的认识论。库恩反复强调，把这些历史…批判性分析同知觉的精神发展的心理学研究联系起来是有益处的。
另一个例子更加与人有关，但同样也能说明问题。我们知道，在古典力学中，速度被认为是物体所经过的空间与时间的一种关系，而空间和时间的长短是两个绝对者。在相对论中，时间变成相对于速度的东西，因为速度获得了某种绝对性。另外，还有大家都知道的一个时间与速度的循环：速度参照时间，而时间的长短又只是凭借速度来测量。因此，爱因斯坦早就建议我们从心理学方面来研究这两个概念的形成（在知觉和概念方面），以确定是否存在着一种与时间无关的速度直觉。可是这种直觉，我们不仅在儿童身上看到，其形式是对超越的顺序直觉（它意味着时间顺序和空间顺序，但无任何有关时间的长短和所经过的空间的衡量），而且我们还能看到，时间的概念与知觉的建构迟早要参照速度。随后，法国的一位物理学家和一位数学家，阿贝莱和马尔沃作了一次有关相对论的介绍。在介绍中，他们想方设法克服时间与速度的循环。于是，他们求助于这些概念的心理发生，结果又采用了我们所取得的有关速度…超越的结果；此外，他们通过引入一台统计弹子数的仪器、一条对数定律和一个阿贝莱群，又找到了速度构成定理而避免了任何时间…速度的循环。当然，这不是心理学对物理学家的技术的一种贡献，而是对其认识论的贡献。不管怎么说，这也是很能说明问题的。
D．在A、B、C中指出的心理学同精确科学（逻辑与数学）和自然科学（物理学）的每一种关系都是认识论性质的，而心理学同生物学、社会学及其他人文科学的关系则在此之外还有技术交流。这完全不是一种偶然。如果人们参照科学是一种环形或螺旋形体系的假设（参阅第一章第六节），就会懂得主体构成需要全部科学合作的一个研究对象，同时也构成为这些科学发展所必需的认识源泉。从这样一个观点出发，心理学与边缘学科之间的合作可以是技术交流，而它与形式的或具体的基础学科之间的关系只能是认识论性质的，或者是同认识的形成与基础有关的那种性质。
但认识论的性质难道不是纯哲学的吗？这在某些学者看来就意味着超科学。我们无须讨论这一问题，只须指出：（1）今天，一切先进科学都不借助各派哲学来研究自己的认识论：（2）不管何种认识论，从某些观点上看，总是参照心理学的情况。然而，尤其在后一种情况，认识论者常常会以内省和统觉作为论据来判断心理学（因为每一个人，尽管没有受过这门学科的专门训练，都
自认是心理学家，而要懂得任何发生心理学解释的困难，则需要很深的技术修养）。
因此，一些心理学家、逻辑学家、数学家、生物学家等等在日内瓦成立了一个“国际发生认识论中心”，其宗旨是系统地研究各学科特有的认识论问题与可以阐明这些问题的、有关精神和认知发展的种种事实之间的关系。上述中心已经出版了二十来部著作，内容涉及逻辑、数学（数、代数结构及其世系、函数和范畴、空间等等）、物理学等的认识论问题，特别涉及本节A、B、C、中所谈到的那些问题。
十一、心理学的应用——基础研究与 “实用”心理学
心理学涉及人的一切活动和一切情境：教育、病理状态和精神治疗、心理卫生、劳动与具有几乎一切劳动形式（尤其是工业劳动）的消遣、个人的学业或职业的选择和方向等等。因此，科学心理学从一成立时起，就自愿地或被迫地介入到应用的问题，甚而就是其中某些问题促进了它最初的实验方向（反应的时间问题就是天文学家贝索在谈到他的合作者们在测量中的个人差异并在马斯可林从格林威治辞退一个在测量中经常平均迟缓十分之一秒的观察者之后提出来的）。事实上，心理学一直处于与医学略同的情况，也就是说，它不得不在掌握实验知识、尤其是在掌握使应用能有相当把握的理论知识之前，就开始应用。从科学的观点和应用本身价值和观点来看，这是好还是坏呢？
A。从这两个观点的第一个来看，应用的考虑自然会提出一些如果没有应用人们就不会想到的新问题。假如比奈不曾要求在学校内开设弱智学生班，假如当局不曾问他按什么标准来区别一个仅仅学习上落后的学生和那些智力迟钝或弱智的学生，他也就不会同西蒙一道制定并于1905年发表他的《智力测定量表》了。这是从此风行一时的智力测验的第一个具体成果。如果没有精神病理学多次向心理分析求助，我们这一学科即心理学有整整几章就根本写不出来。而且在这一点上，应用与理论结合得很紧密，以致诸如里博、P．雅奈或弗洛伊德的著作构成纯粹心理学的一部分，而不是人们经常称为“应用心理学”的一部分。尽管如此，心理学自然还有许多甚至越来越多的临床应用，在应用中，心理学家与精神病医生各有各的专门作用可以发挥。他们的工作又转过来打开了一系列未来前景，很可能为建设他们还缺乏的（对我们大家来说，也是严重缺乏的）并成为有关人性的一种完整理论的理论系统作出贡献。
但是，为应用而提出的问题常常有些变形，甚至面目全非，这也是不容怀疑的事情。这是因为为了根据实践提出的特殊问题去寻求直接效用，人们很可能忽视其他各个方面，这些方面从理论的观点上看是重要的，甚至对问题的特殊性的理解也是必要的。同时，对效用的考虑由于一方面受预定的应用范围本身的限制，另一方面受必须工作敏捷和选择最简便方法的限制，因而很可能导致这种限制、那种约束。比奈在构思他的智力测验时，就有一个绝妙的想法，即求助于一切最最不同的功能，因为他相信智力无所不在，智力构成一切认知活动的一种总的形式。但当人们随后问他智力是什么时，他却机智地答道“就是我的测验所测量的东西”。好一个明智的回答！但在用这样制成的测量工具所达到的理论认识方面却不免令人感到不安。相反，一位物理学家只是在对被测量物和测量物本身进行极为深入的理论思考之后，才测量一种能量形式。
实际上，几乎所有的智力测定都是从一个肯定带有限制性的公设出发的，也就是只测定结果或“成绩”，而不是测定产生这些结果的运算本身。当然在物理学中，人们可以从过程的结果来测定过程，但这是因为过程和结果是同质的，而且一定的过程必定引出一定的结果。相反，在精神生活里，同样一个结果可以通过不同途径去达到，尤其是一个运算结构，它是许许多多可能的结果的源泉。人们不可能从观察到的成绩去推断出这些结果，还需要了解隐蔽的运算机制。因为要判断一个人的智力，就必须达到这个机制。尤其是对判断来说，重要的不是主体现在会做什么，而是他在许多其他情况下可能做些什么。因此，人们远在知道智力由何构成之前，已“测定”了智力，而我们仅仅开始看到智力的性质及其作用的复杂性。然而，促进这些进步的并不是“应用心理学”提供的“测验”和其他数据，而是整个无利害关系的研究，尤其是出于那些如果只考虑实用的需要可能会完全忽视的、理论和认识论考虑的研究。
从应用本身的观点上看，这一捷径有着同基础研究的捷径一样多的弊病。谁都知道，在物理…化学领域里，最不可预料的应用有时是从纯理论性的研究中产生出来的。人们经常引用我们电磁学知识的无数应用作为例子，其根源都应在马克斯韦尔的方�