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第37节 存在在空间中的根据
空间中每一部分与另一部分的位置，譬如一条给定的线——这同样适合于面、体和点——还完全决定了任何其他可能的线所处的完全不同的位置；所以后者与前者存在着推论与根据的关系。因为给定的这条线与其他任何一条可能的线的位置同样可以决定它与其余所有线的位置，也因为最初的两条线的位置本身同样可通过所有其他的线加以确定，所以把哪一条看作为首先被确定的、并确定其他线的位置这一点并不重要，即不必考虑把哪一条具体的线称为根据（ratio），并把其余的线称为推论（rationata）。之所以如此是因为空间中没有继起；因为正是通过把空间和时间联合起来形成复杂经验的联合表象，表象的共存才得以产生。因而类似于所谓的相关性的东西在空间中的存在根据中随处可见，对此我们将在第四十八节中加以阐述，更全面地研讨根据的相关性。既然每一条线由其它所有的线决定，同样地它亦可决定其他所有的线，那么，把任何一条线仅看作是起决定作用的而非被决定的，是很武断的，而且一条线与其他任何一条线的位置并不排除提出这样一个问题：在它相对于其他某线的位置上，这个第二位置必然决定了第一位置并使之得以确定。因此，在存在根据链条的环节系列中，找到前部的始端如同在形成根据的链条环节系列中找始端一样，是不可能的；我们也不可能发现任何后部的终端，因为空间是无限的而且在空间中的线也是无限的。一切可能的相对空间都是轨迹，因为它们是有限的；所有这些轨迹相互之间都有它们的存在根据，因为它们是相连的。因此，空间中一系列的理由如同一系列生成的理由，都是在无限中进行的；此外，不仅是单向的，而是像后者一样，是全方位的。
所有这一切都无法说明；因为这些法则的真理都是直接建立在先天赋予我们的关于空间的直观上的，是先验的。
第38节 在时间中的存在根据、算术
时间中的每一时刻都是以前一时刻为条件的。存在的充足根据作为推论的法则在这里之所以如此简单是因为时间只有一维性，因此它的关系不可能具有多样性。每一时刻以前一时刻为条件；我们只能通过它的前一时刻而达到：这仅就过去的时刻存在过并已消失，此刻才能产生而言。一切计数都依赖于可分的时间的连结，数字仅用来标志继起过程中的单一阶段；因此，整个算术同样依赖于它，算术所教给我们的只是计算的有条理的简略符号。每一个数都以作为其存在根据的先在的数为先决条件：我们只能通过十以前的所有数字才能达到十，只凭着这种认识，我才知道有十就必有八、六、四。
第39节 几何
同样，整个几何学依赖于可分的空间位置的连结。这样，几何学就是关于这种连结的认识；但是，正如我们所说，要达到这种认识仅靠纯粹概念或除了直观以外的任何其他办法，是不可能的，每一个几何学命题都一定要还原到感觉直观中，而证明不过是把所讨论的特定关系明确化；除此之外别无意义。然而我们发现，对于几何学的处理则与此大不相同。只有欧几里德几何学的十二个公理被认为是以纯粹的直观为基础的，更确切地说，甚至只有第九、十一、十二这三条公理被承认是以不同的直观为基础的；而其他的则被认为是以一种认识为基础，即认为在科学中跟在经验中不同，我们不涉及并置在一起、并受到无穷无尽的变化影响的自在真实事物，相反，我们处理的是概念，在数学中则是纯粹的直观，即数和形，它的法则对一切经验都有效，并把概念的综合性和单一表象的明确性结合起来。因为，作为直观的表象，它们的确定性极为精确——在这种情况下没有任何尚未确定的东西——但它们仍然是一般的，因为它们是一切现象的空洞形式，从而这些形式可应用于这些形式所归属的一切真实客体中，因此，柏拉图在谈到〃理念〃时所说的适用于概念，也适用于这些纯粹的直观，即使在几何学里也是如此，就是说，这两者不可能完全类似，不然的话，就没有形式和客体之分①。在我看来，它也适用于几何中的纯粹直观，若非如此，这些作为专有的空间的客体，即会由于空间排列上，即位置上的不同而彼此相别。柏拉图很早以前就说过这一点，正如亚里士多德所说的：〃他进一步说，除可感事物和理念之外，在其中还有数学，其不同于可感事物，因为是永恒不动的，亦不同于理念，因为它们中的许多东西彼此相像；而理念则是绝对唯一的。〃②
①柏拉图的〃理念〃最终可被说成为纯粹的直观，它们不仅适用于彻底表现中的形式部分，而且适用于物质部分——因此可以被表述为彻底的表象，它们完全是被确定的，但同时又包含许多事物，譬如概念——就是说，作为概念的体现，但完全适合于这些概念，请看我在第二十八节中作的说明。②亚氏〃形而上学〃I．6，比较X．1。
既然位置的不同并没有取消其余的共性，那么我认为以这一认识来代替其它九个公理就更加符合科学的性质，因为科学的目的是通过一般认识特殊，那么，以同一个观念为基础分别表述九条公理这种做法就不那么适当了。而且，亚里士多德说过：〃正是平等性构成了统一性〃也能够适用于几何学的图形。
但是，时间中的纯粹直观，即数学，不存在空间排列上的区别，在这里，除了不同事物的同一性外无任何东西，同样属于概念，而不是其它：因为只有一个5和一个7。我们也许还能在这里发现为什么7＋5＝12是一个先天综合命题的根据，诚如康德意义深远地发现，这个命题是以直观为基础的，而非同一律，如赫尔德在其形而上学批判中所说的。12＝12则是一个同一命题。
因此，在几何学中，只有在对待公理时我们才借助于直观。所有其他公理都要加以论证，即给予一个认识的根据，其真理性要得到每个人的认可。这样即可表现出该定理的逻辑真理性，而不是它的先验真理性（参看第三十和三十二节），由于后者存在于存在根据而非认识根据之中，因此，除了通过直观可以弄清楚之外别无它法。这就说明了为什么这类几何论证尽管明确地表达了已被证明的定理是真的这个信念，但却仍然没有说明为什么它所证明的定理之所以如此。换言之，我们没有找到它的存在根据，但通常这就会激起我们探求其存在根据的强烈愿望。因为通过表明认识根据所进行的证明只能产生信念，而非知识，因此也许可以更准确地把它称为索引而非论证，所以这就是为什么在大多数情况下，当它被直观时，由于完全缺乏认识而带来了一种不适感；而且在这里因为刚确切地知其然，要求知其所以然的欲望就变得更为强烈了。这种印象很像当某物从我们的口袋里变进或变出，而我们却不知如何的感觉。在这类论证中，在没有存在根据的情况下所确定的认识根据，跟某些只提供现象但不能说明其原因的物理理论很相似，例如，莱登福洛斯特的实验由于也可以在粗铂坩埚里获得成功；而由直观发现的几何命题的存在根据，就像我们获得的每一个认识，却能够让我们满意。一但我们找到了存在的根据，我们就会把对于该定理的真理性的信念只建立在该根据上，而非由论证给予我们的认识根据上。例如，让我们看一看欧几里德第一卷中的第六个命题：——
〃假如一个三角形的两个角相等，那么，对应边也相等。〃
欧几里德的论证如下：——
〃设abc为一个三角形，其中Eabc＝Eacb，那么，边ab 肯定等于边ac。
〃因为，如果边ab不等于边ac，那么两条边中必有一边大于另一边。假如边ab大于边ac；从ba取bd等于ca，连接dc。这样，在Fdbc和Fabc中，由于db等ac，而且bc是这两个三角形的公共边，db和bc这两条边分别等于边ac和边bc；Edbc等于Eacb，因此，底边dc等于底边ab，Fdbc等于Fabc，较小的三角形等于较大的三角形，——这是荒谬的。因此，ab不是不等于ac，而是ab等于ac。〃
在论证中，我们得到了该命题真理性的认识根据。但是谁会把对几何真理性的信任建立在这种证明上呢？难道我们不是把我们的信任建立在直观认识的存在根据上？依照存在根据（作为一种不必再行论证的必然性只承认通过直观提供的证据），从另一条线段的两个端点以相同的斜度画两条射线使之相交，其交点到线段两端的距离必然相等；因为这样产生的两个角实际上不过是一个，只是由于位置相对才显出是两个；因此没有根据说两条线会在靠一个终端近而靠另一个终端远的位置上相交。
正是对存在根据的认识向我们揭示了从其条件中而产生的被限定性条件的必然推论——在这个例子中，从等角中得出等边——即表明了它们的联系；而认识根据只表明它们的共存。而且我们甚至还主张，通常的证明方法只能在作为一个例子所给予我们的一个实际图形中使我们相倍它们的共存，而不是无论如何总是共存的；因为，由于没有表明这种必然联系，我们对于这种真理性所得到的信任就只能依赖于归纳法，依赖于这样一个事实：我们发现它在我们所划的每一个图形中都是如此。存在根据并不是在任何情况下，都像在欧几里德第六定理这样一个简单的定理中一样显而易见，但我仍然相信在每一定理中都可使之明白易见，无论它多么复杂，命题总能还原到某一这种简单的直观。另外，我们先天地意识到空间的每一关系的这种存在根据的必然性，同我们先天地意识到每一变化之原因的必然性是完全一致的。当然，在复杂的定理中，要揭示存在根据是很难的，但这种研究不是对几何学研究而言的。因此，为使我所说的意义显得更明白，我现在将要把一个具有适当难度的命题之存在根据找出来，这个命题的根据不是十分明显的。作为一个不十分直接的定理，我以定理十六为例：
〃在任何一个三角形中，延长一边，所成外角大于其他两个内角中的任何一个。〃
欧几里德的证明如下：——
〃假设abc是一个三角形；延长bc边到d，那么，外角acd 将大于任何一个与之相对的内角bac或cba。作ac边中点e，连接be并延长至f，使ef＝eb，连接fc。延长ac到g。由于ae＝ec，be＝ef；两边ae，eb分别等于两边ce、ef；Eaeb＝Ecef（对顶角相等）；因此底边ab＝底边cf，Faeb全等于Fcef。全等三角形中等边所对应的其余两角分别对应相等；因此，Ebae＝Eecf。但Eecd＞Eecf，因此，Eacd＞Ebac。〃
〃同样，假如bc边等分为二，ac边延长到g，可以证明Ebcg，即对顶角acd＞Eabc。〃
我对于这一命题的证明如下：——
若要Ebac等于Eacd，更不用说＞Eacd，线ba对于ca
就要与bd一样在同一方向上（因为这就是两角相等的含义），即它必须要与bd平行；就是说，ba和bd必须永不相交；但是，要形成一个三角形，就必须让它们相交（存在根据），因而必定跟我们要证明的Ebac＝Eacd所要求的条件相反。
若要Eabc等于Eacd，更不用说＞Eacd，线ba必须要对于bd与ac处在同一方向上（因为这就是两角相等的含义），即它必须与ac平行，就是说，ba和ac必须永不相交；但要形成三角形，ba和ac必须相交，这样就必定跟我们要证明的