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地用相应的矩阵元来代替电子轨道的傅里叶分量吧。我必须承认，在那时我还不知道矩阵为何物，不知道矩阵乘法规则。但我们可以从物理中学到这些运算，尔后发现那正是数学家所熟知的矩阵乘法。
这时我们可看到，与分立定态联系着的电子轨道的概念，实际上已被抛弃了。然而分立定态的概念仍保存着。这概念是必要的，它在观测中有其根据。但电子轨道不能同观测联系起来。所以它被抛弃了，留下的是这些坐标的矩阵。
似乎应当提一下，在1925年发生这些之前，玻恩于1924年在哥丁根讨论班上已强调指出，把量子论的困难单单归诸辐射与力学体系间的相互作用，是不正确的。他宣传了这种想法：力学必须加以改造，必须用某种量子力学来代替，方能提供理解原子现象的基础。之后，矩阵乘法也规定了。玻恩与约尔当，和狄拉克独立地发现，在我第一篇论文中加于矩阵乘法的那些附带条件，实际上可写成qq…qp=h/2πi这样精致的形式。这样一来，他们便能为量子力学建立起一个简单的数学方程。
但即便到这时候，谁也说不出分立定态究竟是什么，所以现在来谈谈我这个报告的第二部分——态的概念。在1925年，确实已有了计算原子分立能量值的方法。并且至少在原则上，也已有了计算跃迁几率的方法。但原子的态是什么呢，怎样才能描述它呢，它不能根据电子轨道来描述。直到此时，态只能用能量和跃迁几率来描述，但原子的图象却一点也没有。何况也很显然，有时还有非定态。最简单的非定态的例子，是穿过云室的电子。因此问题实质上是，怎样处理这种可在自然界中出现的态。穿过云室的电子的径迹这样的现象，能不能用矩阵力学的抽象语言来描述呢？
幸而，那时薛定谔已经发展了波动力学。在波动力学中，事物看起来很不相同。在那里，对分立定态可以定又一个波函数。有一段时候薛定谔想过，分立定态可发展成如下图象：一个三维驻波，它可以写成一个空间因数与一时间周期函数e iωt 的乘积，这个波函数绝对值的平方意味着电子密度。这种驻波的频率则使之等同于光谱定律中的项。这是薛定谔概念中决定性的崭新之点。那些项并不一定意味着能量，却是意味着频率。因此薛定谔走到了分立定态的一个新的“经典”图象，起初他相信，真的可以把这个图象应用于原子理论的。但没多久便看出，那也还是不行。1926年夏，在哥本哈根曾有十分激烈的争论。薛定谔认为，物质按波函数环绕原子核连续分布的原子波动图象，可以代替量子论的旧模型。但是与玻尔讨论导致的结论却是，这种图象甚至不能解释普朗克定律。对这种诠释，十分重要的是应当说，薛定谔方程的本征值不仅代表着频率，——它们实际上是能量。
这样一来，当然就回到了从一个定态到另一定态的量子跳跃的概念，薛定谔对于我们讨论的这种结果十分失望。但即便我们知道了这一点，接受了量子跳跃，我们也并不知道“态”这个词能意味着什么。当然，我们可以试试看，能否用薛定谔方程去描述穿过云室的电子。很快作了这种尝试，结果表明那是不行的。在初始位置时，电子可用波包来表示。波包要向前运动，于是我们获得了有些象穿过云室的电子径迹的东西。但困难的是，波包要越变越大，以致如果电子的行程足够长的话，它就会有一厘米或甚至更大的直径。这肯定不是在实验中观察到的现象，所以这种图象仍然必须抛弃。在这种情况下，当然我们作了许多讨论，而且是很困难的讨论，因为我们都感到，量子力学或波动力学的数学程式已是最终的了。它无法再改变，我们不得不按这个程式进行一切计算。另一方面，却没人知道在这程式中，怎样去表示象穿过云室的电子径迹这样简单的事例。玻恩迈出的第一步是：从薛定谔理论算出碰撞过程的几率：他引进了一个概念：波函数的平方并不是薛宝谔所认为的电荷密度，而是代表在某绘定地点找到电子的几率。
之后狄拉克和约尔当的变换理论也出来了。在这理论中，可以从 ψ（ q）变换到（比如说） ψ（ p），而且很自然地可以认为，平方值｜ ψ（ p）｜ 2 应当是找到动量为p的电子的几率。因此我们逐渐获得这样的概念：波函数的平方意味着某种几率，顺便提一下，这并非三维空间中的波函数，而是在位形空间中的波函数。有了这种认识以后，我们再回到云室中的电子。会不会是我们问了错误的问题，我记得，爱因斯坦告诉过我：“正是理论决定什么是可以观测的。”那意味着，如果认真一点讲，我们不应当问：“我们怎样才能表示云空中电子的径迹？”而应当问：“在自然界中，是否真的只有那些能用量子力学或波动力学表示的情况才会出现？”
围绕这个问题，我们立刻看到，云室中电子的径迹并不是具有明确位置和速度的一条无限细的线，实际上云空中的径迹是一系列点，这些点是由水滴不太精确地确定的，而速度也同样不能太精确地确定的。因此我简单地提这个问题：“如果从‘只有能用量子力学的数学程式表示的那些情况，才能在自然界中找到’这样的基本原则出发，那么，当我们想知道一个波包的速度同时又想知道它的位置时，所能获得的最佳准确度是怎样的呢？”这是一个简单的数学问题，其结果便是测不准原理，它看来与实验情况相符。我们终于知道了怎样表示电子径迹这类现象，但又一次付出了很高的代价。就是说，这个解释意味着，表示电子的波包在每个观察点都在变化，也就是在云空中的每个水滴处都在变化。在每一点上，我们获得关于电子态的新信息，所以必须把原来的波包代以一个新波包，以表示这种新的信息。
这样表示的电子态，不允许我们赋与轨道中的电子以确定的性质，如坐标、动量等等。我们所能做的，仅仅是谈到几率：在适当的实验条件下，于某点找到电子的几率，或找到电子速度为某一值的几率。因此，最后我们得到的态的定义，比原来的电子轨道抽象得多。数学上，我们用希耳伯特空间中的一个矢量来描述它，并且这个矢量决定了在这个态时进行的各种实验的结果的几率。每一个新的信息，都会使态改变。
态的这个定义，对自然现象的描述作了一个巨大变革，或者如狄拉克所说是一个巨大的跳跃；并且我怀疑，爱因斯坦、普朗克、冯·劳埃和薛定谔的不愿接受它，是否可以单纯归结为偏见。偏见这个字眼在这里是太消极了，并没有概括所有情况。当然那也是真实的，例如爱因斯坦就以为，必然能够在旧物理学同样的意义上，对原子态这种事情给出一种客观描述。放弃这种观念的确非常难，因为我们的所有语言都同客观性的概念紧紧地连结在一起。所以在物理学中用来描述实验的字眼，例如测量、位置、能量、温度等等，都是以经典物理和它的客观性概念为根据的。宣称在原子世界中这种客观描述成为不可能，而只能用希耳伯特空间中的一个方向来规定一个态，这样的讲法实在是太革命性了；我想那时的许多物理学家干脆不愿接受它是并不奇怪的。
1954年，爱因斯坦死前几个月，他同我讨论了一下这问题。那是我同爱因斯坦渡过的一个愉快的下午，但一当谈到量子力学的诠释时，仍然是他不能说服我，我也不能说服他。他总是说：“是的，我承认，凡是能用量子力学算出结果的实验，是如你所说的那样出现的，然而这样的方案不可能是自然的最终描述。”
现在来谈我要讨论的第三个概念：基本粒子的概念。1928年以前，每个物理学家都知道，基本粒子意思指的是什么。电子和质子是最明白的例子，那时我们喜欢简单地把它们当作点电荷：体积无限小，仅由它们的电荷与质量所确定。我们不得不勉强地承认，它们必须有一半径，因为它们的电磁质量应当是有限的。这类对象应有半径之类的性质这样的想法，我们是不喜欢的；但至少它们看来似乎像球一样完全对称，所以我们还算高兴。然而以后发现了电子自旋，使这个图象大大改变了。电子并不对称。它有一根轴，并且这结果突出地指出，恐怕这种粒子具有更多的性质，它们并不是简单的，不像我们原先所想的那样基本。1928年狄拉克发展了电子的相对论理论并发现了正电子，情况又完全改变了。一个新观念不可能在一开始时就十分清楚的。狄拉克起初想，他理论中的负能量空穴可以等同于质子；但后来很明显，它们应当具有与电子相同的质量，最后在实验中发现了它们，并称之为正电子。我觉得这个反物质的发现恐怕是本世纪物理学中所有巨大跃进中的最大的跃进。这是一个无比重要的发现，因为它把我们关于物质的整个图景改变了。在我这次谈话的最后部分里，我想对此作较详尽的说明。
开始狄拉克提出：这种粒子可能在成对产生过程中产生出来。一个光量子，能把真空中的一个虚电子从一些负能态中的一个提到较高的正能量，这就意味着，光量子产生了一对电子和正电子。但这立刻意味着，粒子数不再是个好量子数了，没有关于粒子数的守恒律了。例如，按照狄拉克的新观念，我们可以说氢原子不一定要由质子和电子构成。它也可暂时由一个质子，两个电子，一个正电子构成。实际上，在考虑到量子电动力学的更精细的细节时，这些可能性确实起一些作用。
在辐射与电子相互作用的场合中，成对产生这种现象是会出现的。但这样就可很自然地假设，类似过程可能在远为广泛的物理领域中出现。1932年时我们已知道，原子核里没有电子，原子核是由质子和中子构成的。但后来泡利提出： β衰变也许可以这样来描述，就是说一个电子与一个中微子在β衰变中产生了出来。后来费米在他的产衰变理论中表述了这种可能性。由此可见，早在那时候粒子数守恒律就已完全被抛弃了。我们知道，在有些过程中，粒子是从能量产生出来的。当然，这种过程的可能性，在狭义相对论中已经给出：能量在转化为物质，但它的实在性却是联系到狄拉克关于反物质和成对产生的发现而首次出现的。
β衰变的理论，是费米在1934年发表的。不多几年后，连系着宇宙辐射我们提出一个问题：“如果两个基本粒子以很高能量相碰，将发生什么？”自然的回答是，没有什么良好理由可以认为，在这样的过程中不应当产生许多粒子。所以，实际上，在狄拉克的发现之后，高能碰撞中粒子多重产生的假设是十分自然的。十五年后，当人们研究极高能量的现象并能够在大加速器中观察到这些过程时，才对这个假设作了实验验证。但是，如果我们知道，在极高能量的碰撞中，任何数目的粒子都可能产生，唯一条件是初始的对称性与最终的对称性相同，那么我们还得假定，任何粒子实际上是一个复杂的复合体系，因为在某种程度的真实性上我们可以说，任何粒子实际上是由任何数目的其它粒子所构成。当然，我们还得承认，把一个
π介子看作仅由核子和反核子所构成大概是合理的近似，我们无须考虑更高级的结构了。但那只是个近似，如果我们一定要讲得严谨的话，那么我们应当说，对任一π介子，我们有几个粒子甚至任意多个粒子的多种组态，只要总的对称性与
π介子的对称性一样就行了。所以狄拉克的发现的最惊人结果之一是：基本粒子的旧概念完全崩溃了。基本粒子不再是基本的了。它实际上是一个复合体系，说得更确切些是个复杂的多体体系，它所具有的复杂性完全不下于分子或任何其他这类物体真正具有的复杂性。
狄拉克理论还有另一个重要结果。在旧理论中，我们说的是在非相对论性量子论中，基态是一个极简单的态。它就是真空，空的世界，没有任何别的东西，所以它有最高可能的对称性。狄拉克理论中的基态就不同了。它是一个充满着看不到的负能粒子的客体。除此以外，如果引入了正反粒子对产生的过程，我们就可以预期，基态必须包含几乎无穷多个虚正电子、电子对或虚粒子反粒子对；因此马上可以看出，基态是个复杂的动力学体系。它是基本自然定律所确定的本征解之一。如果基态按这种方式解释，我们可以进一步看到，在基本自然定律群中，它不�